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Avr 15

À la recherche de Phi : le nombre d’or

Il est presque impossible d’ouvrir un livre de récréations mathématiques sans y trouver un paragraphe ou un chapitre sur le nombre d’or : \Phi. C’est vrai que c’est assez fascinant. De nombreuses informations sont disponibles sur le Web :

Je rappelle juste ici que \Phi est la plus grande des racines du polynôme x^2+x+1, qu’il vaut \frac{1+\sqrt{5}}{2} c’est à dire à peu près 1.618.

L’objet de ce billet est d’exposer une idée présentée parfois sérieusement, et parfois comme une boutade (il s’agit maintenant de deviner le parti que j’ai pris), affirmant en substance que la proportion d’or (directement tirée du nombre d’or) est présente un peu partout dans la nature :

  • chez les plantes (à ce sujet, je trouve les arguments (bonne réception de la lumière du soleil) trouvés dans l’ouvrage Alex au pays des chiffres d’Alex Bellos fort bien présentés). À la fin de mon billet sur le film Inspirations, Eric Lewin a ajouté une autre référence vers un film du même artiste qui illustre ceci.
  • dans les proportions du corps humain (…)

Regardons donc du côté des proportions présentes dans le corps humain. Pour cela, j’ai réalisé quelques mesures, qui ont été facilitées par l’utilisation d’un mannequin en bois :

J’ai mesuré comme longueurs (les points de mesure sont indiqués en rouge) : la main, l’avant-bras, le bras, la largeur de la tête, la hauteur de la tête, la hauteur du cou, la largueur de la poitrine, la hauteur du thorax, la largeur du bassin, la taille, la hauteur du bassin, la longueur de la cuisse, de la jambe et du pied, soit au total 14 longueurs.

Voici la liste des longueurs obtenues (sans unité) :

dims=(194,274,297,160,230,40,352,306,244,170,234,376,425,196)

Puis, j’ai pris chaque couple de nombres, et calculé le rapport du plus grand sur le plus petit :

liste=[]
for c in itertools.combinations(dims,2) :
        d=sorted(c)
        liste.append(d[1]/d[0])

On obtient ainsi 91 rapports, qui se trouvent être compris entre 1 et 11.

Sur ces 91 rapports, 70 sont compris entre 1 et 2, ce qui est finalement naturel puisque j’ai mesuré des objets de tailles similaires (et la maquette en bois a un niveau de détails limités, qui ne permet pas de mesurer à la fois la hauteur du thorax et la longueur d’une phalange par exemple…).

J’ai conservé ces 70 rapports, et y ai cherché \Phi afin de confirmer ou non que ce rapport est particulièrement présent dans le corps humain (comme je ne me souviens plus où j’ai lu ça, et que je ne suis plus trop sûr des rapports considérés, j’ai trouvé plus facile d’en recalculer un grand nombre, espérant tomber sur les bons… 🙂 )

Comme il est improbable de tomber sur une valeur exacte (en particulier car mes mesures ne sont pas très précises), je me suis donc donné une marge d’erreur : disons plus ou moins 10%. Je vais donc cherche tous les rapports compris entre 1.4562 (0.9\,\Phi) et 1.7798 (1.1\,\Phi).

Et là… miracle, il apparaît qu’il y a de nombreux rapports de longueurs qui  conviennent  (au point où vous en êtes, merci de ne pas arrêter la lecture, et de continuer jusqu’au bout afin de ne pas partir avec une idée fausse) :

  • bras/main
  • hauteur du thorax / main
  • avant bras/ largeur tête
  • jambe / avant bras
  • bras/ taille
  • bras/pied
  • largeur du bassin / largeur de la tête
  • hauteur du bassin / largeur de la tête
  • largeur de la poitrine / hauteur de la tête
  • cuisse / hauteur de la tête
  • largeur de la poitrine / hauteur du bassin
  • hauteur du thorax / pied
  • cuisse / largeur du bassin
  • jambe / largeur du bassin
  • cuisse / hauteur du bassin

Certains rapports sont très proches de \Phi, comme la longueur de l’avant-bras sur la largeur de la taille, qui vaut environ 1.612. Miracle ! Serions-nous construits en suivant la proportion d’or ?

La proportion d’argent est moins connue que la proportion d’or. Pour tout avouer, je viens juste d’inventer le nombre d’argent 🙂  : c’est la plus grande racine du polynôme x^2-2x+0.95, et elle vaut 1+\frac{\sqrt{5}}{10} c’est à dire environ 1.224.

Cette nouvelle proportion, bien que n’étant que d’argent, sera-t-elle présente elle-aussi dans les proportions du corps humain ?

Avec le même moyen que précédemment et la même erreur de 10% (ce qui donne l’intervalle 1.1016-1.3464), on trouve cette fois-ci 27 rapports convenables (il n’y en avait que 15 avec le nombre d’or), dont les plus proches du rapport d’argent sont :

  • la longueur du bras sur la largeur du bassin (1.217) ;
  • la longueur du pied sur la largeur de la tête (1.225) ;
  • et enfin la longueur de la cuisse sur la hauteur du thorax (1.229).

C’est sidérant 🙂

Maintenant, divisons l’intervalle couvert par les 70 rapports en 10 tranches de largeur égale (c’était plus facile que conserver une erreur de 10%.. :-)), puis comptons le nombre de rapports dans chaque tranche

  • tranche 1 , de 1.01030927835 à 1.05670103093 : 4 rapports
  • tranche 2 , de 1.05670103093 à 1.10309278351 : 4 rapports
  • tranche 3 , de 1.10309278351 à 1.14948453608 : 4 rapports
  • tranche 4 , de 1.14948453608 à 1.19587628866 : 8 rapports
  • tranche 5 , de 1.19587628866 à 1.24226804124 : 6 rapports
  • tranche 6 , de 1.24226804124 à 1.28865979381 : 6 rapports
  • tranche 7 , de 1.28865979381 à 1.33505154639 : 3 rapports
  • tranche 8 , de 1.33505154639 à 1.38144329897 : 3 rapports
  • tranche 9 , de 1.38144329897 à 1.42783505155 : 3 rapports
  • tranche 10 , de 1.42783505155 à 1.47422680412 : 5 rapports
  • tranche 11 , de 1.47422680412 à 1.5206185567 : 2 rapports
  • tranche 12 , de 1.5206185567 à 1.56701030928 : 6 rapports
  • tranche 13 , de 1.56701030928 à 1.61340206186 : 3 rapports
  • tranche 14 , de 1.61340206186 à 1.65979381443 : 1 rapport
  • tranche 15 , de 1.65979381443 à 1.70618556701 : aucun rapport
  • tranche 16 , de 1.70618556701 à 1.75257731959 : 3 rapports
  • tranche 17 , de 1.75257731959 à 1.79896907216 : 1 rapport
  • tranche 18 , de 1.79896907216 à 1.84536082474 : 3 rapports
  • tranche 19 , de 1.84536082474 à 1.89175257732 : 2 rapports
  • tranche 20 , de 1.89175257732 à 1.9381443299 : 3 rapports

On peut tracer un histogramme dont la hauteur de chaque barre indique, pour chaque tranche, l’effectif de la tranche, c’est à dire le nombre de rapports dans la tranche concernée :

On y constate que la zone contenue par \Phi est justement particulièrement pauvre, contrairement aux régions situées aux alentours de 1.2.

Conclusion

S’il y a quelque chose à conclure, c’est bien, selon moi, qu’on peut trouver à peu près n’importe quoi dans un «objet» aussi riche en détails qu’un corps humain. On a de plus tendance à apparier des parties du corps qui ont des dimensions comparables (le premier réflexe n’est pas de diviser la hauteur d’une personne par le diamètre moyen de ses cheveux), et on obtient ainsi beaucoup de rapports compris entre 1 et 2, mais 1.618 ne revient pas plus souvent que les autres…. et le nombre d’argent : 1+\frac{\sqrt{5}}{10}\approx1.224 mériterait bien le titre de nombre de platine.

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(1 commentaire)

  1. Xochipilli

    Excellent, j’adore l’idée du nombre d’argent!
    Par contre pour les plantes c’est quand même plus sérieux (j’avais écrit un billet là dessus).

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